Berikut garis besar topik-topik penelitian untuk tiap-tiap bidang peminatan dalam Pusat Studi Matematika dan Masyarakat.
A. Bidang Peminatan Aktuaria
Sebagaimana dideskripsikan dalam buku Kurikulum 2023 Program Studi Sarjana Matematika, peminatan Aktuaria berfokus pada penggunaan ilmu matematika, probabilitas dan statistika, serta ilmu ekonomi dan keuangan dalam pengukuran dan pengelolaan risiko kuantitatif. Penelitian-penelitian yang dijalankan dalam Pusat Studi Matematika dan Masyarakat di bidang peminatan Aktuaria dapat dikelompokkan ke dalam beberapa topik berikut ini.
1. Model-Model Kerugian
Sebelum penghitungan premi dan cadangan, pemodelan kerugian yang terdiri dari banyak klaim dan besar klaim dibutuhkan untuk mengetahui pola dan parameter-parameter yang bisa digunakan untuk analisis lebih jauh. Pemodelan kerugian, yang biasanya diartikan sebagai pembentukan distribusi dari banyak klaim dan besar klaim, merupakan suatu bagian dalam ilmu aktuaria yang berfokus pada penyelidikan dan pembuatan distribusi-distribusi menggunakan pendekatan matematis. Selain itu, proses penaksiran parameter menggunakan berbagai pendekatan juga menjadi bagian yang sering dibahas di sini.
2. Metode-Metode Statistis
Tingkat keparahan klaim merupakan variabel acak, terlebih pada data asuransi umum. Masalah utama dalam memodelkan data ini ialah kesenjangan yang besar antara nominal klaim. Dalam pusat studi, pemodelan tingkat keparahan klaim dilakukan dengan metode kuantitatif, yaitu mencocokkan beberapa distribusi ekor panjang terhadap data simulasi besar keparahan klaim. Untuk menentukan distribusi yang cocok untuk digunakan, dilakukan pengujian menggunakan Quantile-Quantile plots beserta Akaike Information Criterion (AIC) untuk setiap model. Hasil salah satu penelitian yang telah dilakukan memperlihatkan bahwa gabungan distribusi Lognormal, Inverse Gaussian, dan Gamma merupakan model yang baik bagi data besar keparahan klaim. Dengan menggunakan model-model tersebut kemudian dapat dihitung peluang posterior untuk setiap model menggunakan Teorema Bayes serta besar premi murni untuk excess layer.
B. Bidang Peminatan Analitika Data
Sebagaimana dideskripsikan dalam buku Kurikulum 2023 Program Studi Sarjana Matematika, peminatan Analitika Data berfokus pada pemodelan, visualisasi, dan rekayasa data serta penggunaannya. Penelitian-penelitian yang dijalankan dalam Pusat Studi Matematika dan Masyarakat di bidang peminatan Analitika Data dapat dikelompokkan ke dalam beberapa topik berikut ini.
1. Statistika Non-Parametrik
Metode kernel adalah bagian dari statistika non-parametrik yang biasanya digunakan sebagai alternatif berbagai metode empiris statistika dengan cara melakukan pemulusan (smoothing) dengan memanfaatkan suatu fungsi yang disebut kernel. Berbagai metode statistika klasik seperti penaksiran pdf dengan histogram, fungsi distribusi empiris, dan uji kebaikan-suai sudah berhasil diperbaiki performa dan tingkat konvergensinya dengan metode kernel. Namun, pemulusan dengan fungsi kernel memunculkan suatu masalah, yang biasa disebut dengan boundary bias problem, ketika support dari data bukanlah seluruh garis riil. Permasalahan ini merupakan penghalang utama dari penggunaan metode kernel di ranah ilmu aktuaria, karena hampir semua data aktuaria merupakan data yang bernilai non-negatif. Penelitian yang dilakukan di pusat studi dalam bidang ini bertujuan memperkenalkan bagaimana transformasi bijektif dapat mengeliminasi boundary bias problem dari berbagai metode kernel naif, serta memperbaiki performanya ketika diaplikasikan di data-data yang terdefinisi di interval secara umum.
2. Statistika Bayesian
Berbeda dengan pendekatan statistika klasik yang menafikan bias subjektif dalam suatu analisis dan hanya mendasarkan kesimpulan berdasarkan data objektif, statistika Bayesian justru selalu memperhitungkan preferensi, pengalaman, dan pengetahuan personal peneliti di dalam pengambilan keputusan. Ada tiga komponen penting dalam setiap analisis Bayesian, yaitu distribusi prior yang menjadi perwakilan perspektif subjektif, distribusi model yang merepresentasikan informasi objektif dalam Statistika Bayesian, serta distribusi posterior yang merupakan hasil “pencampuran” kedua distribusi sebelumnya. Dengan distribusi posterior, analisis dan pengambilan keputusan secara Bayesian dapat dilakukan.
3. Biostatistika
Bandung, salah satu kota terbesar di Indonesia, memiliki masalah serius dengan Demam Berdarah Dengue (DBD) yang ditularkan oleh nyamuk Aedes. Dalam pusat studi, tingkat keparahan DBD di kota Bandung dipelajari secara statistis. Nilai kuantil dari tingkat keparahan tersebut diestimasi dengan regresi kuantil, menggunakan model koefisien bervariasi homoskedastik dan heteroskedastik, di mana koefisien-koefisien estimator diasumsikan bergantung pada waktu dan diaproksimasi menggunakan P-splines. Selain itu, sebaran tingkat keparahan DBD di berbagai kecamatan di kota Bandung dinilai secara kuantitatif menggunakan risiko relatif, dengan mengaplikasikan model spasial Besag, York, dan Mollie (BYM). Model yang optimal, yang ditentukan dengan Deviance Information Criterion (DIC), dapat digunakan untuk menentukan kecamatan dan waktu di mana risiko DBD paling tinggi.
4. Pembelajaran Terarah dan Tak Terarah
Perkembangan dunia digital sekarang menghasilkan banyak data (big data) yang dapat dieksplorasi untuk mengetahui perilaku data/pengguna sehingga suatu sistem dapat bekerja secara lebih efisien dan efektif. Metode-metode pembelajaran mesin yang ada dapat membuat suatu sistem bekerja pada waktu nyata (real time) dan secara otomatis. Secara garis besar, pembelajaran mesin terbagi menjadi dua jenis, yaitu pembelajaran terarah (supervised learning) dan tak terarah (unsupervised learning). Contoh sederhana dari kedua pembelajaran tersebut adalah pada klasifikasi gambar binatang sebagai berikut. Target data pada pembelajaran terarah memiliki label (ayam, kucing, semut, dan lainnya), sebaliknya pada pembelajaran tidak terarah tidak memiliki label (hasil klasifikasi: binatang berkaki 4, berkaki 2, dan lainnya). Metode-metode pembelajaran yang dikaji pada penelitian pusat studi meliputi (tetapi tidak terbatas pada) regresi, pohon keputusan, SVM, tetangga terdekat, jaringan syaraf, dan reinforcement learning. Selanjutnya, topik-topik pembahasan pembelajaran mesin yang dikaji meliputi (tetapi tidak terbatas pada) prediksi harga saham, analisis sentimen, klasifikasi penyakit, klasifikasi gambar, penjadwalan, analisis kebiasaan belanja, deteksi penipuan transaksi, penyelesaian persamaan diferensial, dan penentuan parameter hidrodinamika.
XGBoost (Extreme Gradient Boosting) adalah salah satu algoritma tree boosting yang unggul dan menjadi pilihan populer para peserta kompetisi pembelajaran mesin untuk masalah regresi dan klasifikasi. Boosting adalah suatu teknik “penggabungan”, di mana galat dari model yang lama dikoreksi dengan menambahkan model-model baru secara sekuensial, sampai tidak ada lagi perbaikan yang dapat diperoleh. Pada gradient boosting digunakan algoritma gradient descent untuk meminimumkan fungsi loss saat penambahan model baru. XGBoost adalah optimalisasi dari gradient boosting standar. Algoritma XGBoost dikenal sebagai algoritma yang terukur, portabel dan akurat serta unggul dalam hal kecepatan pemrosesan serta kinerjanya. Dalam penelitian-penelitian di pusat studi, algoritma XGBoost diterapkan dalam mempelajari berbagai jenis data industrial maupun aktuarial. Metode-metode pembelajaran mesin diterapkan pada masalah penjadwalan dan penelitian tentang gelombang laut.
5. Pengolahan Citra Digital
Kondisi gelombang laut, baik di daerah pesisir maupun di laut lepas, sangat penting untuk diketahui. Salah satu teknik pengukurannya adalah penginderaan jarak jauh dengan radar. Radar pada umumnya mampu menangkap gelombang laut dengan jangkauan yang luas, yaitu sampai radius 2 km. Tangkapan radar tersebut berupa citra digital yang kemudian diolah sedemikian rupa sehingga dapat diperoleh data berupa estimasi nilai parameter gelombang laut (periode, panjang gelombang, dan spektrum) maupun kedalaman dasar laut. Di daerah pesisir, data ini dibutuhkan untuk perencanaan pembangunan pelabuhan maupun pengawasan terhadap kondisi alam seperti erosi atau sedimentasi. Di laut lepas, data ini dibutuhkan untuk memprediksi gelombang laut yang akan datang ke kapal-kapal, dalam rangka membantu para nahkoda yang mengemudikan kapal-kapal tersebut. Selain menggunakan radar, suatu citra juga dapat diperoleh dari drone. Berbeda dengan citra radar yang mengandalkan sinyal elektromagnet, citra drone dihasilkan dari pantulan cahaya sehingga objek-objek terlihat seperti apa yang mata kita lihat. Dalam penelitian-penelitian di pusat studi, pengolahan citra dilakukan dengan mengaplikasikan konsep-konsep matematis seperti transformasi Fourier kontinu dan diskret, persamaan gelombang dispersi, optimisasi, interpolasi, koordinat polar dan cartesius, serta penyadapan data radar.
C. Bidang Peminatan Optimasi dan Dinamika
Sebagaimana dideskripsikan dalam buku Kurikulum 2023 Program Studi Sarjana Matematika, peminatan Optimasi dan Dinamika berfokus pada pemodelan-pemodelan dalam menyelesaikan permasalahan di bidang industri, kesehatan, dan keuangan. Penelitian-penelitian yang dijalankan dalam Pusat Studi Matematika dan Masyarakat di bidang peminatan Optimasi dan Dinamika dapat dikelompokkan ke dalam beberapa topik berikut ini.
1. Pergerakan Nilai Kuantitas-kuantitas Finansial
Di Indonesia, IFRS 17 (International Reporting Financial Standards) yang diberlakukan mulai 1 Januari 2023 diterjemahkan menjadi Pernyataan Standar Akuntansi Keuangan 74 (PSAK 74) dan diberlakukan paling lambat mulai 1 Januari 2025. Salah satu konsekuensinya adalah diperlukannya metode-metode saintifik —yang dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah— untuk menetapkan asumsi tingkat suku bunga berdasarkan IGSYC (Indonesia Government Securities Yield Curve). Untuk keperluan tersebut, pergerakan tingkat suku bunga perlu dimodelkan secara matematis, dengan menggunakan model-model deret waktu dengan model-model stokastik lainnya. Penelitian yang dilakukan di pusat studi bertujuan membandingkan performa dari model gerak Brown geometrik, model Vasicek, dan model CIR (Cox-Ingersoll-Ross) untuk pergerakan tingkat suku bunga.
2. Valuasi Instrumen-Instrumen Keuangan
Instrumen keuangan (derivatif) adalah produk yang nilainya ditentukan oleh harga dari variabel yang lebih mendasar atau aset tertera (seperti saham, indeks saham, komoditas, dan lain-lain). Salah satu contoh instrumen keuangan adalah opsi. Penelitian-penelitian di pusat studi dalam bidang ini berfokus pada opsi saham karyawan (OSK), yaitu opsi call yang diberikan oleh suatu perusahaan kepada sekelompok karyawannya untuk membeli saham perusahaan tersebut. Opsi saham karyawan di Indonesia (diberikan oleh beberapa perusahaan seperti Bank BRI, Krakatau Steel, dll.) memiliki karakteristik yang menjadikannya cukup kompleks dari segi pemodelan matematis. Dalam model matematis klasik untuk opsi saham karyawan, digunakan batas psikologis tunggal, dan valuasi dilakukan dengan metode binomial. Penelitian-penelitian di pusat studi dalam bidang ini bertujuan memberikan kontribusi berupa pengembangan model-model matematis untuk opsi saham karyawan, seperti modifikasi model Hull-White dengan batas psikologis bergerak dan metode bino-trinomial, serta aplikasi dari model-model tersebut, misalnya untuk valuasi opsi saham karyawan di Indonesia.
3. Optimasi Portofolio
Suatu portofolio setelah terbentuk perlu dipantau agar memberikan hasil yang optimum bagi investor. Untuk itu perlu dilakukan penyeimbangan kembali (rebalancing) agar hasil portofolio tersebut selalu optimum. Pada penelitian di pusat studi, portofolio akan diseimbangkan kembali bila ada perubahan arah (pembalikan) tren, atau yang dikenal dengan istilah trend reversal dari suatu indeks saham. Untuk menentukan pembalikan arah ini, digunakan regresi logistik dengan beberapa indikator teknikal sebagai prediktornya. Pada tahap ini, koefisien risk-aversion disesuaikan agar investor dapat menyeimbangkan kembali portofolionya sehingga memberikan hasil yang optimum. Adapun model portofolio yang akan digunakan adalah model yang memaksimumkan tingkat pengembalian, sekaligus meminimumkan risiko yang dinyatakan dengan simpangan semi-mutlak. Kerangka kerja yang diajukan pada penelitian ini akan diaplikasikan pada pembentukan portofolio yang terdiri dari saham-saham LQ45.
4. Model-Model Persediaan
Dalam mengelola suatu perusahaan barang, diperlukan pemahaman yang baik mengenai dinamika dari sistem persediaan barang yang dijual, supaya kemudian dapat ditentukan strategi-strategi yang tepat untuk meminimumkan total pengeluaran atau memaksimumkan total pendapatan perusahaan tersebut. Salah satu cara memahami dinamika sistem persediaan barang tersebut adalah dengan bantuan model-model matematis. Para peneliti di pusat studi dalam bidang ini mengonstruksi dan menganalisis secara eksak maupun numerik model-model matematis deterministik maupun probabilistik untuk persediaan barang yang memperhitungkan berbagai faktor.
5. Model-Model dalam Ekologi dan Epidemiologi
Berbagai fenomena di alam yang melibatkan kuantitas-kuantitas yang berubah terhadap waktu dapat dimodelkan dalam bentuk sistem dinamik. Dua contoh penting dari fenomena yang demikian adalah interaksi antara mangsa dan pemangsa dalam suatu ekosistem, dan penyebaran penyakit menular dalam suatu populasi. Penelitian-penelitian di pusat studi dalam bidang ini bertujuan mengonstruksi, menganalisis dari perspektif sistem dinamik, menyimulasikan secara numerik, dan mengaplikasikan dalam studi-studi kasus nyata berbagai model matematis untuk interaksi mangsa-pemangsa serta untuk penyebaran COVID-19 maupun penyakit-penyakit menular lainnya.
6. Iterasi Pemetaan-Pemetaan Aritmetis
Hampir seluruh teori standar tentang perilaku dinamik dari pemetaan-pemetaan teriterasi dikembangkan dengan menggunakan kalkulus, sehingga hanya dapat diterapkan pada pemetaan-pemetaan yang terdefinisi di sebuah manifold. Untuk pemetaan-pemetaan yang terdefinisi di himpunan-himpunan non-manifold, teori tentang perilaku dinamiknya harus dibangun mulai dari nol. Tujuan dari penelitian-penelitian di pusat studi dalam bidang ini adalah membangun dan mengembangkan teori tentang perilaku dinamik dari pemetaan-pemetaan yang demikian, misalnya pemetaan mean-median yang dapat dipandang sebagai pemetaan di himpunan semua barisan berhingga bilangan real maupun sebagai pemetaan di himpunan semua multiset berhingga fungsi kontinu afin bagian demi bagian, pemetaan jumlah sisa pembagian tergeneralisasi, pemetaan pangkat prima, pemetaan greedy, serta pemetaan-pemetaan yang melibatkan operator diskretisasi spasial seperti fungsi lantai.
D. Bidang Peminatan Matematika Murni dan Pengajaran
Sebagaimana dideskripsikan dalam buku Kurikulum 2023 Program Studi Sarjana Matematika, peminatan Matematika Murni dan Pengajaran berfokus pada pada pembekalan calon-calon akademisi dengan penguatan konsep-konsep matematika murni dan aspek-aspek dasar dalam pengajaran. Penelitian-penelitian yang dijalankan dalam Pusat Studi Matematika dan Masyarakat di bidang peminatan Matematika Murni dan Pengajaran dapat dikelompokkan ke dalam beberapa topik berikut ini.
1. Aljabar Max-Plus
Jika operasi penjumlahan dan perkalian bilangan yang biasa kita kenal masing-masing diganti menjadi operasi maksimum dan penjumlahan, maka diperoleh suatu sistem matematis baru yang disebut aljabar max-plus. Dalam aljabar max-plus, sebagai contoh, hasil penjumlahan dan hasil perkalian dari 2 dan 3 secara berturut-turut adalah max{2, 3} = 3 dan 2 + 3 = 5. Dalam penelitian-penelitian di pusat studi, aljabar max-plus diterapkan pada masalah-masalah di kehidupan nyata seperti penjadwalan keberangkatan alat-alat transportasi dan penjadwalan tahap-tahap produksi barang di industri.
2. Metode-Metode Penyelesaian Persamaan Diferensial
Persamaan-persamaan diferensial yang memodelkan fenomena-fenomena alam yang kompleks pada umumnya tidak mudah diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, perilaku solusi persamaan-persamaan yang demikian lebih sering dipelajari dengan menggunakan metode-metode numerik, seperti metode Euler, metode Runge-Kutta, dan metode-metode beda hingga. Selain metode-metode numerik, ada pula suatu kumpulan metode-metode lain yang dapat digunakan, yang disebut metode-metode semianalitik, seperti metode iterasi variasional, metode transformasi diferensial, metode analisis homotopi, dan metode dekomposisi Adomian. Dalam pusat studi dilakukan penelitian-penelitian yang mengaplikasikan metode-metode tersebut pada berbagai persamaan diferensial.
3. Ruang Morrey
Ruang Morrey adalah suatu perumuman dari ruang Lebesgue Lp, yaitu ruang-ruang fungsi yang didefinisikan dengan menggunakan suatu perumuman dari norm-p yang dikenal dalam ruang-ruang vektor berdimensi berhingga. Dalam pusat studi, penelitian-penelitian tentang ruang-ruang Morrey difokuskan pada sifat-sifat yang dipenuhi oleh operator-operator fungsional seperti operator integral fraksional dan operator maksimal yang terdefinisi di ruang-ruang Morrey maupun di suatu varian dari ruang-ruang Morrey yang disebut ruang-ruang Morrey-Adams.
4. Ruang Herz
Seperti halnya Ruang Morrey, Ruang Herz adalah salah satu perumuman dari ruang Lebesgue Lp. Pada umumnya, ruang Morrey memperhatikan perbandingan integral fungsi di bola dengan pangkat dari ukuran bolanya. Di ruang Herz, diperhatikan integral fungsi di anulus yang berpusat di nol. Dalam pusat studi ini, penelitian tentang ruang Herz juga difokuskan pada sifat-sifat operator fungsional seperti operator integral fraksional dan operator maksimal. Selain itu, dikaji juga sifat-sifat dari operator Hardy dan operator Hilbert.
5. Pengembangan Metode-Metode Asesmen
Semenjak kegiatan pembelajaran dialihkan dari luring menjadi daring karena pandemi COVID-19, muncul berbagai tantangan bagi para pengajar untuk mempertahankan kualitas pembelajaran, salah satunya dalam hal asesmen. Akibatnya, penelitian-penelitian yang mengembangkan metode-metode asesmen yang objektif menjadi semakin relevan. Dalam pusat studi dilakukan penelitian-penelitian yang mengembangkan metode-metode asesmen luring maupun daring yang meminimalisasi ketidakjujuran.
6. Pengembangan Materi-Materi Pengayaan
Kegiatan pembelajaran matematika, khususnya di tingkat universitas, selalu terbuka untuk pengembangan tidak hanya dari segi pedagogis tetapi juga dari segi konten. Dalam pusat studi dilakukan penelitian-penelitian yang mengembangkan materi-materi menarik yang dapat ditambahkan sebagai pengayaan atau sebagai bahan proyek pada mata-mata kuliah matematika dasar tertentu di jenjang sarjana.
7. Literasi Statistik
Literasi statistik adalah salah satu keterampilan kunci yang harus dimiliki oleh seseorang dalam dunia yang sarat informasi, dan pendidikan formal di sekolah diharapkan dapat mengambil peran dalam hal ini. Literasi statistik dideskripsikan sebagai keterampilan untuk menafsirkan, mengevaluasi secara kritis, dan mengomunikasikan informasi dan pesan statistik. Literasi statistik diyakini merupakan hasil aktivitas bersama yang saling terkait antarkomponen: literasi, keterampilan statistika dan matematika, pemahaman konteks, dan berpikir kritis. Kahneman membahas mengenai mengapa kita sukar sekali berpikir statistik, lebih mudah untuk berpikir asosiatif, berpikir dengan perumpamaan, berpikir sebab-akibat. Ia menjelaskan bahwa statistika menuntut kita berpikir tentang banyak hal sekaligus, keterbatasan akal budi manusia yang kadang terlalu percaya dengan apa yang diketahuinya, namun tidak mampu mengukur kadar ketidaktahuan dan ketidakpastian menjadi salah satu penyebabnya. Penelitian di pusat studi dalam bidang ini mengkaji data kemampuan literasi statistik serta mengembangkan instrumen-instrumen penilaian literasi statistik dan metode-metode kualitatif maupun kuantitatif yang dapat digunakan.